행렬의 고유값과 고유벡터/ R

행렬의 고유벡터와 고유값이란 무엇을 의미할까요?

 

고유벡터(eigenvector)란, 정방행렬에 곱해졌을때의 값이 고유벡터의 상수배가 되는 영벡터(Zero vector) 이 아닌 벡터를 의미합니다. 여기에서 '상수배'를 고유값(eigenvalue) 이라고 하죠. 고유값과 고유벡터는 모두 정방행렬에 대해서만 정의됩니다. 

 

정방행렬(square matrix)이란, 같은 수의 행과 열을 가져, 정사각형의 형태를 지니는 행렬을 의미합니다. 

n개의 행과 n개의 열을 가지는 정방행렬을, n*n 행렬 (n by n matrix) 혹은 n차 정방 행렬(nth order matrix)이라고 부릅니다. 

 

A라는 n*n 정방행렬과, x라는 고유벡터, λ로 나타내어지는 고유값의 관계를 정의하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

이 관계에서 나타나는 (A-λI) 를 특성행렬(characteristic matrix)라고 합니다. 

 

<고유벡터가 존재하기 위한 조건> 

 

영벡터가 아닌 벡터 x 가 존재하기 위해서는 (A - λI)의 역행렬이 존재하지 않아야 합니다. 이는 다른말로 (A - λI)의 행렬식(determinant)이 0이 되어야 한다는 말이죠.  (A - λI)의 역행렬이 존재하는 경우, 연립방정식의 해는 영벡터가 됩니다. 

이와 같은 방정식을 '특성방정식(characteristic equation)' 혹은 '고유방정식(eigenvalue equation)' 이라고 합니다. 

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<조건을 만족시키는 고유값 구하기> 

 

특성방정식의 해가, 고유값(λ) 이 되며 , 구해진 각각의 고유값들로 고유벡터를 구할 수 있습니다. 

n차 정방행렬 A는 하나부터 최대 n개의 서로다른 고유값을 가지게 됩니다.  

 

예를 들어 설명해 보겠습니다. A 를 이차 정방 행렬이라고 가정합시다. 

A라는 이차 정방 행렬을 가지고 고유벡터가 존재하기 위한 조건을 만족시키는 고유값을 찾아보도록 하죠. 

다음과 같은 과정에 의해 -5 혹은 7이라는 고유값(λ)이 추출되었습니다. 

 

<고유값의 특성> 

 

고유값 λ는 다음과 같은 특성을 만족합니다. 

 

고유값의 합은, 정방 행렬의 대각위치 요소의 합과 같다. 

1. λ1 + λ2 + λ3 +...+ λn = trace(A)

 

고유값의 곱은, 정방행렬의 행렬식의 값과 같다. 

2. λ1 * λ2 * λ3 *...* λn = det(A)

 

<각각의 고유값에 대응하는 고유벡터 구하기> 

첫번째 고유값 -5에 대응하는 이차 정방행렬 A의 고유벡터 x를 구해보도록 합시다. 

위의 과정에 의해, 정방행렬 A의 고유값 -5에 대응하는 고유벡터는 (2, -3)' 이 되는것을 확인 하실 수 있습니다. 

위의 식에서 살펴보면 알 수 있듯이, (-2, 3)'역시 고유벡터가 될 수 있습니다. 부호가 모든 고유벡터의 요소에 곱해지는 한, 부호가 바뀌어도 무방하다는 뜻이죠. 

 

두번째 고유값 7에 대응하는 이차 정방행렬 A의 고유벡터 x를 구해보도록 합시다. 

위의 과정에 의해, 정방행렬 A의 고유값 7에 대응하는 고유벡터는 (2, 3)' 이 되는것을 확인 하실 수 있습니다. 

 

<역행렬의 고유값> 

 

정방행렬 A의 고유값과 고유벡터를 구했다면, 다음과 같은 특성에 의해, A의 역행렬의 고유값과 고유벡터는 쉽게 도출 할 수 있습니다. 

 

정방행렬 A의 역행렬의 고유값은 A의 고유값의 역수다. 

A의 고유값 : λ1, λ2, λ3, ..., λn

A-1의 고유값 : 1/λ1 , 1/λ2, 1/λ3, ..., 1/λn

정방행렬 A의 역행렬의 고유벡터는 A의 고유벡터와 동일하다. 

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<R>

위에서 예시로 든 정방행렬 A를 R로 정의한 후, 

eigen()함수를 사용하여, A의 고유값과 고유벡터를 구할 수 있습니다. 

 

solve()함수를 사용하여, A의 역행렬을 구하고 A_inverse 로 정의한 후,

A의 역행렬의 고유값과 고유벡터를 구해보면, 

 

A의 역행렬의 고유값은 A의 고유값의 역수로 나타나는것을 확인 할 수 있습니다.

A의 고유값 : 7, -5

A-1의 고유값 : -1/5, 1/7

 

A의 역행렬의 고유벡터는 A의 고유벡터와 같은 동일한 벡터를 나타냅니다. 

A의 고유벡터 : (0.5547, 0.8321 ),  (-0.5547, 0.8321)

A-1의 고유벡터 : (-0.5547, 0.8321 ),  (-0.5547, -0.8321)

*부호가 모든 고유벡터의 요소에 곱해지는 한, 비율에는 변화가 없기에 부호가 바뀌어도 무방합니다. 

 

*위에서 matrix로 계산했을때의 A의 고유벡터는 (-2, 3)'과 (2, 3)으로 나왔지만, R로 고유벡터를 구해보았을때, (0.5547, 0.8321 ),  (-0.5547, 0.8321)가 도출되는것을 보실 수 있습니다. 이는 고유배는 관점에 따라 상수배로 표현 될 수있기 때문이죠.

0.5547/0.8321 과 2/3의 비율이 같다는것을 확인하실 수 있으실 거에요:)

 

이상 봐주셔서 감사합니다!